L’étude des fonctions numériques est importante dans tous les domaines des mathématiques pures et appliquées, y compris les mathématiques appliquées à l'économie, à la finance et aux affaires. Par exemple, le langage de l'analyse économique regorge de termes tels que les fonctions d'offre et de demande, les fonctions de coût, les fonctions de production et les fonctions de consommation.

Donc, dans ce chapitre, nous allons introduire quelques concepts majeurs tels que les asymptotes, les branches paraboliques, la convexité et l'axe de symétrie, qui nous sont utiles pour étudier le comportement de n'importe quelle fonction.

Asymptotes

Asymptote verticale

Asymptote horizontale

Asymptote oblique

Branches paraboliques

Branches paraboliques de direction (OX) et (OY)

Définition

1. Si $x \to + \infty lim f (x) = \pm \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$

(ou $x \to - \infty lim f (x) = \pm \infty$ et $x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0)$

On dit que $(C_{f})$ présente une branche parabolique de direction asymptotique $(O X)$ .

2. Si $x \to + \infty lim f (x) = \pm \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = \pm \infty$

(ou $x \to - \infty lim f (x) = \pm \infty$ et $x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = \pm \infty)$

On dit que $(C_{f})$ présente une branche parabolique de direction asymptotique $(O Y) .$

3. Si $x \to + \infty lim f (x) = \pm \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$ et $x \to + \infty lim (f (x) - a x) = b$

(ou $x \to - \infty lim f (x) = \pm \infty$ et $x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$ et $x \to - \infty lim (f (x) - a x) = b)$

On dit que la droite $(Δ)$ d'équation $y = a x + b$ est une asymptote à $(C_{f})$ au voisinage de $+ \infty$ (ou au voisinage de $- \infty)$ .

4. Si $x \to + \infty lim f (x) = \pm \infty$ et $x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$

et $x \to + \infty lim (f (x) - a x) = \pm \infty$

(ou $x \to - \infty lim f (x) = \pm \infty$ et $x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a \neq = 0$

et $x \to - \infty lim (f (x) - a x) = \pm \infty)$

on dit que $(C_{f})$ admet une branche parabolique de direction la droite $(Δ)$ d'équation $y = a x$ .

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Convexité – Point d’inflexion

Notion de convexité , de concavité

Point d’inflexion

Dérivé seconde et convexité

[vid id="35222"]

Axe et centre de symétrie

Axe de symétrie

Centre de symétrie

À retenir

∙

Soit

a \in R

, lorsque

x \to a^{+} lim f (x) = \pm \infty

x \to a^{-} lim f (x) = \pm \infty

La droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_{f})$ .

$∙$ Soit $l \in R$ , lorsque $x \to \pm \infty lim f (x) = l$ .

La droite d'équation $y = l$ est une asymptote horizontale à $(C_{f})$ au voisinage de $+ \infty$ ou de $- \infty$ .

$∙$ Si $x \to \pm \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0$ tels que $a \in R^{*}$ et $b \in R$ .

Alors la droite d'équation $y = a x + b$ est une asymptote oblique à $(C_{f})$ au voisinage de $+ \infty$ ou $- \infty$ .

$∙$ Soit $Δ$ la droite d'équation $y = a x + b .$

$(Δ)$ est une asymptote à $(C_{f})$ si et seulement si elle existe une fonction $h$ tel que :

$f (x) = a x + b + h (x)$ et $x \to \pm \infty lim h (x) = 0$

$∙$ On dit que $(C_{f})$ est convexe sur $I$ s'il est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. Et On dit que $(C_{f})$ est concave sur $I$ s'il est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.

$∙$ Si $f$ est dérivable en $a$ et $(C_{f})$ traverse sa tangente en $A (a, f (a))$ alors le point $A$ est un point d'inflexion.

$∙$ $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{''}$ est positive sur $I .$

$∙$ $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{''}$ est négative sur $I$ .

$∙$ $(C_{f})$ admet un point d'inflexion en $A (a, f (a))$ si $f^{''}$ s'annule en $a$ en changeant de signe.

$∙$ La droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de $(C_{f})$ si et seulement si :

$\forall x \in D_{f}, (2 a - x) \in D_{f} et f (2 a - x) = f (x)$

$∙$ Le point $α (a, b)$ est un centre de symétrie de $(C_{f})$ si et seulement si :

$\forall x \in D_{f}, (2 a - x) \in D_{f}$ et $f (2 a - x) = 2 b - f (x)$

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Conclusion :

En analyse l’étude des fonctions numériques est un thème central dans le programme de première année et deuxième année baccalauréat . Pour ce chapitre , vous êtes maintenant capable de tracer la courbe d’une fonction et analyser soit par le calcul soit graphiquement le comportement d’une fonction au voisinage d’un point ou à l’infini .