Travail de la force exercée par un opérateur sur un ressort

$F_{Op}$ : force exercée par un opérateur lorsqu'il tire sur l'extrémité libre $M$ d'un ressort pour la déplacer de $O$ jusqu'à $B$ .

$3^{e ˋ me}$ loi de Newton : $F_{Op} = - F = k \cdot x \cdot i$

Travail élémentaire fournie par l'opérateur :

$δ W = F_{Op} \cdot d ℓ = k \cdot x \cdot i \cdot dx \cdot i = k \cdot x \cdot dx$

Le travail total lorsque M passe de A en B :

$W (F_{Op}) = \int_{x_{A}}^{xB} k \cdot x \cdot dx = [\frac{1}{2} k \cdot x^{2}]_{x A}^{x B} = \frac{1}{2} (k \cdot x_{B}^{2} - k \cdot x_{A}^{2})$

On retrouve ce résultat par une méthode graphique : le travail élémentaire est représenté par l'air d'un rectangle de longueur $k \cdot x$ et de largeur $dx$ .
Le travail total est égal à l'aire du trapèze rectangle $ABCD$

$W (F_{Op}) = A_{ABCD} = \frac{1}{2} (k \cdot x_{B}^{2} - k \cdot x_{A}^{2})$

$W (F) = - W (F_{Op}) = \frac{1}{2} x_{A}^{2} - \frac{1}{2} x_{B}^{2}$

Étude énergétique du système ${$ solide, ressort $}$ horizontal

Énergie potentielle élastique

Théorème de l'énergie cinétique entre $G_{1}$ et $G_{2}$ :

$Δ E_{c} (G_{1}, G_{2}) = W (F) + W (P) + W (R)$

$= W (F)$

$= \frac{1}{2} k \cdot x_{1}^{2} - \frac{1}{2} k \cdot x_{2}^{2}$

$= (\frac{1}{2} k \cdot x_{1}^{2} + C) - (\frac{1}{2} k \cdot x_{2}^{2} + C)$

$= E_{p e_{1}} - E_{p_{2}}$

$= - Δ E_{pe}$

$L$ 'expression $E_{pe} (x) = \frac{1}{2} k \cdot x^{2} + C$ représente l'énergie potentielle élastique du ressort horizontal.

Un ressort allongé ou comprimé possède de l'énergie potentielle élastique en réserve, due à sa déformation. Il la restitue quand il reprend sa forme initiale.

Pour déterminer $C$ on choisit un état de référence, $Δ ℓ_{0} = x_{o}$ , dans lequel on accorde à $E_{pe}$ la valeur nulle:

$E_{pe} (x_{o}) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2} k \cdot x_{o}^{2}$

En pratique, la constante d'intégration est choisie de sorte que $E_{pe}$ d'un ressort non déformé, soit nulle : $x_{0} = 0 \Rightarrow C = 0$

La variation de l'énergie potentielle élastique est égale à l'opposé du travail de la force de rappel : $Δ E_{pe} = - W (F)$

Énergie mécanique

L'énergie mécanique d'un système, à un instant t, dans un repère donné, est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle à cet instant.

$E_{m} = E_{c} + E_{p}$

- On choisit comme état de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal passant par $G$ : $E_{pp} = c t e = 0$

- On choisit comme état de référence pour l'énergie potentielle élastique l'état où le ressort n'est pas déformé : C $= 0$

$E_{m} = E_{c} + E_{pp} + E_{pe} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2} + \frac{1}{2} k \cdot x^{2}$

Cas d'un oscillateur non amorti

$x = x_{m} \cdot cos (\frac{2 π}{T _{0}} \cdot t + φ) \Rightarrow v = - \frac{2 π}{T _{0}} \cdot x_{m} \cdot sin (\frac{2 π}{T _{0}} \cdot t + φ) = - v_{m} \cdot sin (\frac{2 π}{T _{0}} \cdot t + φ)$

$v_{m} = \frac{2 π}{T _{o}} \cdot x_{m} = \frac{k}{m} \cdot x_{m} \Rightarrow m \cdot v_{m}^{2} = k \cdot x_{m}^{2}$

$E_{m} = \frac{1}{2} m \cdot [\frac{k}{m} \cdot x_{m} \cdot sin (\frac{2 π}{T _{o}} \cdot t + φ)]^{2} + \frac{1}{2} k \cdot [x_{m} \cdot cos (\frac{2 π}{T _{o}} \cdot t + φ)]^{2}$

$= \frac{1}{2} k \cdot x_{m}^{2} \cdot [sin^{2} (\frac{2 π}{T _{o}} \cdot t + φ) + cos^{2} (\frac{2 π}{T _{o}} \cdot t + φ)]$

$= \frac{1}{2} k \cdot x_{m}^{2} = E_{pemax}$

$= \frac{1}{2} m \cdot v_{m}^{2} = E_{c m a x}$

En l'absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve.

La force de rappel $F$ est dite conservative.

$E_{m} = E_{c} + E_{pe} = cte \Rightarrow Δ E_{m} = Δ E_{c} + Δ E_{pe} = 0 \Rightarrow Δ E_{c} = - Δ E_{pe}$

Il y a transformation entre les énergies cinétique et potentielle élastique.

Cas d'un oscillateur amorti

À cause des frottements, l'énergie mécanique diminue : les forces de frottement sont dites non conservatives.

Oscillateur non amorti.
Représentation de $E_{pe}$ et $E_{c}$
en fonction de $t$

Oscillateur non amorti.
Représentation de $E_{p e}$ et $E_{c}$
en fonction de $x$

Oscillateur non amorti.
Représentation de $E_{p e}$ et $E_{c}$
en fonction de $t$

Étude énergétique du pendule de torsion

Énergie cinétique du pendule de torsion

$E_{C} = \frac{1}{2} J_{Δ} \cdot θ ˙^{2} (J_{Δ} :$ moment d'inertie de la barre par rapport à $Δ)$

La masse du fil de torsion est négligeable.

Énergie potentielle de torsion du fil

Théorème de l'énergie cinétique entre les positions repérées par $θ_{1}$ et $θ_{2}$ :

$Δ E_{c} (θ_{1}, θ_{2}) = W_{t} + W (P) + W (R) = W_{t}$ : travail du couple de torsion

$W_{t} = \frac{1}{2} J_{Δ} \cdot θ ˙_{2}^{2} - \frac{1}{2} J_{Δ} \cdot θ ˙_{1}^{2} = \frac{1}{2} J Δ \cdot (θ ˙_{2}^{2} - θ ˙_{1}^{2})$

$θ = θ_{m} \cdot cos (ω_{o} \cdot t + φ) \Rightarrow θ ˙ \Rightarrow θ ˙^{2} = - ω_{o} \cdot θ_{m} \cdot sin (ω_{o} \cdot t + φ) = ω_{o}^{2} \cdot θ_{m}^{2} \cdot sin^{2} (ω_{o} \cdot t + φ) = ω_{o}^{2} \cdot θ_{m}^{2} \cdot [1 - cos^{2} (ω_{o} \cdot t + φ)] = ω_{o}^{2} \cdot [θ_{m}^{2} - θ_{m}^{2} \cdot cos^{2} (ω_{o} \cdot t + φ)] = ω_{o}^{2} \cdot [θ_{m}^{2} - θ (t)^{2}] = \frac{C}{J _{Δ}} \cdot [θ_{m}^{2} - θ (t)^{2}]$

$\Rightarrow W_{t} = \frac{1}{2} J Δ \cdot (θ ˙_{2}^{2} - θ ˙_{1}^{2}) = \frac{1}{2} J Δ \cdot \frac{C}{J _{Δ}} \cdot [(θ_{m}^{2} - θ_{2}^{2}) - (θ_{m}^{2} - θ_{1}^{2})] = \frac{1}{2} C \cdot θ_{1}^{2} - \frac{1}{2} C \cdot θ_{2}^{2} = E_{pt 1} - E_{pt 2}$

L'expression $E_{pt} (θ) = \frac{1}{2} C \cdot θ^{2} +$ cte représente l'énergie potentielle de torsion du fil.

Un fil tordu possède de l'énergie potentielle de torsion en réserve, due à sa torsion. Il la restitue quand il reprend sa forme initiale.

En pratique, la constante d'intégration est choisie de sorte que $E_{pt}$ d'un fil non tordu, soit nulle : $θ_{o} = 0 \Rightarrow$ cte $= 0$ (le système est dans sa position d'équilibre stable).

Énergie mécanique

$E_{m} = E_{c} + E_{pe} + E_{pt} = \frac{1}{2} J Δ \cdot θ ˙^{2} + \frac{1}{2} C \cdot θ^{2} +$ cte

- Conservation de l'énergie mécanique : $\frac{dE _{m}}{dt} = J_{Δ} \cdot θ ¨ \cdot θ ˙ + C \cdot θ ˙ \cdot θ = = 0 (J_{Δ} \cdot θ ¨ + C \cdot θ) \cdot θ ˙ = 0$

- On choisit comme état de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal contenant la barre : $E_{pp} = cte = 0$

- On choisit comme état de référence pour l'énergie potentielle de torsion l'état où le fil est non tordu : cte $= 0$

$E_{m} = \frac{1}{2} J_{Δ} \cdot θ ˙^{2} + \frac{1}{2} C \cdot θ^{2}$

Il y a transformation entre les énergies cinétique et potentielle de torsion.

Oscillateur non amorti.
Représentation de $E_{pt}$ et $E_{c}$
en fonction de $t$

Oscillateur non amorti.
Représentation de $E_{pt}$ et $E_{c}$
en fonction de $θ$

Oscillateur non amorti.
Représentation de $E_{pt}$ et $E_{c}$
en fonction de $t$

Étude énergétique du pendule pesant

- Énergie cinétique du pendule pesant: $E_{c} = 1/2 J_{Δ} \cdot θ ˙^{2}$

- Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant: $E_{pp} = m \cdot g \cdot z + c t e$

( $(O, k)$ vertical orienté vers le haut)

En pratique, on choisit la position d'équilibre stable du pendule comme référence pour l'énergie potentielle de pesanteur : $E_{pp} = m \cdot g \cdot z$

- Énergie mécanique du pendule pesant: $E_{m} = E_{c} + E_{pp} = 1/2 J Δ \cdot θ ˙^{2} + m \cdot g \cdot z$

En l'absence de frottement, l'énergie mécanique du pendule pesant est constante.

- Diagrammes d'énergie:

Diagramme (a) : au cours du mouvement oscillatoire libre non amorti du pendule pesant, Il y a transformation entre les énergies cinétique et potentielle de pesanteur : $Δ E_{c} = - Δ E_{pp}$
Diagramme (b) : $E_{pp} = m \cdot g \cdot z = m \cdot g \cdot d \cdot (1 - cos θ)$

Cas des faibles oscillations : $cos θ \approx 1 - \frac{1}{2} θ^{2} \Rightarrow E_{pp} = m \cdot g \cdot d \cdot (1 - cos θ) = \frac{1}{2} m \cdot g \cdot d \cdot θ^{2} \cdot$ La représentation de $E_{pp}$ donne une portion de parabole.

Travail de la force exercée par un opérateur sur un ressort

Étude énergétique du système { solide, ressort } horizontal

Énergie potentielle élastique

Énergie mécanique

Cas d'un oscillateur non amorti

Cas d'un oscillateur amorti

Étude énergétique du pendule de torsion

Énergie cinétique du pendule de torsion

Énergie potentielle de torsion du fil

Énergie mécanique

Étude énergétique du pendule pesant

Étude énergétique du système ${$ solide, ressort $}$ horizontal