Les lois de Kepler

Les lois de Kepler sont des lois cinématiques qui décrivent le mouvement des corps célestes, bien qu'ayant été formulées à l'origine pour expliquer le mouvement des planètes, elles peuvent être appliquées à tous corps en orbite autour d'un autre.

La 1ère loi de kepler

Les planètes tournent autour du Soleil en suivant des orbites en forme d'ellipse dont le Soleil occupe un des foyers.

La 2ème loi de kepler

Les aires balayées par le rayon vecteur d'une planète sont proportionnelles au temps.
La 2ème loi de Kepler implique que les surfaces S1 et S2, étant égales entre elles, ont été balayées en des temps égaux.

La 3ème loi de kepler

Pour toutes les orbites planétaires (satellites) le rapport du carré des périodes de révolution (T en s) au cube du demi-grand-axe de l'orbite (a en m) est constant.
$\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = Cste$

Les lois de newton

Forces intérieures et forces extérieurs Les forces extérieures

Les forces intérieures

Première loi de Newton : Principe d’inertie

Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au vecteur nul $\sum F_{ext} = 0$ , le vecteur vitesse $V_{G}$ de son centre d’inertie G ne varie pas
Cas 1 : si $V_{G} = Cste = 0$ alors le centre d’inertie G est au repos
Cas 2 : si $V_{G} = Cste \neq = 0$ le centre d’inertie G est en mouvement rectiligne uniforme

Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse m et du vecteur accélération $a_{G}$ de son centre d’inertie :
$\sum F_{ext} = m a_{G}$

Troisième loi de Newton : principe de l’action et de la réaction

Lorsqu’il y a interaction entre deux corps A et B (action et réaction), le corps A exerce une force $F_{A / B}$ sur le corps B et le corps B exerce une force $F_{B / A}$ sur le corps A , ce deux forces vérifient toujours la relation : $F_{A / B} = - F_{B / A}$

L’étude mécanique du mouvement

La nature du mouvement

Système étudié

Une planète qui tourne autour du soleil ou un satellite qui tourne autour de la terre

Bilan des forces

$F_{S / T}$ : Force de gravitation universelle

La deuxième loi de newton

Dans un repère héliocentrique, supposé galiléen, on applique la deuxième loi de newton
$\sum F_{e x t} = m a_{G}$

$F_{S} /_{T} = M_{T} a_{G}$
Projection
Sur $T$ de la base Frenet
$F_{S} /_{T} = M_{T} a_{T}$
On a la force de gravitation est perpendiculaire au vecteur tangentiel alors :
$F_{s / T} = 0$
$0 = M_{T} a_{T}$
Alors
$a_{T} = 0$
On sait que $a_{T} = \frac{d v}{d t} = 0$ ce qui montre que la valeur de la vitesse est constante et le mouvement est uniforme
Sur $N$ de la base Frenet
On a $F_{s} /_{T} = M_{⊤} a_{n}$
La force gravitationnelle est parallèle avec le vecteur normal, alors :
$F_{s} /_{T} = M_{⊤} a_{n}$
$G. \frac{M _{T} M _{S}}{R ^{2}} = M_{T} \frac{v ^{2}}{R}$
$\frac{G \cdot M _{S}}{R} = v^{2}$
Alors : $R = \frac{G \cdot M _{S}}{v ^{2}} = Cste$
On a la valeur du rayon est constante, ce qui montre que le mouvement est circulaire, alors la nature du mouvement est circulaire uniforme.

La période de révolution

Vérification de la 3ème loi de kepler

On a $T = 2 π r \frac{r}{G M _{S}}$
Alors
$T^{2} = 4 π r^{2} \cdot \frac{r}{G M _{S}}$
$T^{2} = 4 π \cdot \frac{r ^{3}}{G M _{S}}$
$\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π}{G M _{S}} = Cste$
Alors la troisième loi de kepler est vérifiée

La masse et le rayon de la terre

La masse de la terre

On a $\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{T}}$
Alors pour calculer la masse de la terre, il suffit d’extraire $M_{T}$
$M_{T} = \frac{4 π ^{2} \cdot r ^{3}}{T ^{2} \cdot G}$

Le rayon de la terre

On a $\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{T}}$
Alors :
$r^{3} = \frac{T ^{2} \cdot G. M _{T}}{4 π ^{2}}$
$r = 3 \frac{T ^{2} \cdot G \cdot M _{T}}{4 π ^{2}}$
On sait que $r = R + h$ avec
R : le rayon de la terre
h : La distance entre le satellite et la surface de la terre
Alors pour calculer le rayon de la terre :
$r = R + h = 3 \frac{T ^{2} \cdot G \cdot M _{T}}{4 π ^{2}}$
$R = 3 \frac{T ^{2} \cdot G \cdot M _{T}}{4 π ^{2}} - h$